Bài 3.45 trang 181 sbt giải tích 12

\ {\ displaystyle \ Rightarrow I = \ int \ limit_1 ^ {\ frac {{\ sqrt 2}} {2} \ left ({\ frac {\ pi} {4} +1} \ right)} {\ frac { {du)) {u)) {\ displaystyle = \ left. {\ ln \ left | u \ right |} \ right | _1 ^ {\ frac {{\ sqrt 2}} {2} \ left ({{\ frac {\ pi} {4} +1} \ right)} {\ displaystyle = \ ln \ left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} \right]\) \ {\ displaystyle = \ ln \ frac {{\ sqrt 2}} {2} + \ ln \ left ({\ frac {\ pi} {4} +1} \ right) \) {\ displaystyle = \ ln \ left ({1 + \ frac {\ pi} {4}} \ right) – \ frac {1} {2} \ ln 2 \)

Chọn một câu để xem giải pháp nhanh hơn

Tính các tích phân sau:

LG A

\ {\ displaystyle \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ cos 2x}. {\ cos ^ 2} xdx \)

Phương pháp giải quyết:

Sử dụng công thức bậc thấp nhất kết hợp các công thức để tính toán thay thế của các hàm lượng giác.

Giải pháp chi tiết:

Ta có: \ {\ displaystyle {\ cos ^ 2} x = \ frac {{1+ \ cos 2x}} {2} \) \ {\ displaystyle \ rightarrow \ cos2x. {\ Cos ^ 2} x = \ frac {1} {2} \ cos 2x \ left ({1 + \ cos 2x} \ phải) \)

\ {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {2} {\ cos ^ 2} 2x \) {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {4} \ left ({1+ \ cos 4x} \ right) \) {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {4} \ cos 4x + \ frac {1} {4} \)

đạo hàm \ pi} {4}} {\ left ({\ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {4} \ cos 4x + \ frac {1} {4}} \ right) dx } \) \ {\ displaystyle = \ left. {\ left ({\ frac {1} {4} \ sin 2x + \ frac {1} {{16))} \ sin 4x + \ frac {1} {4} x } \ right)} \ right | _0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ {\ displaystyle = \ frac {1} {4} + \ frac {\ pi} {{16)) \)

LG

\ {\ displaystyle \ int \ limit _ {\ frac {1} {2)) ^ 1 {\ frac {{{e ^ x))} {{{e ^ {2x)) – 1)}} dx} \ )

Phương pháp giải quyết:

Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân thành các hàm dễ tích phân.

Giải pháp chi tiết:

Ta có: \ {\ displaystyle \ frac {{{e ^ x)))) {{e ^ {2x)) -1)} = \ frac {{{e ^ x))} {{\ left ({{} ) e ^ x} – 1} \ right) \ left ({{e ^ x} + 1} \ right))) {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ left ({\ frac {{{e )) ^ x}}} {{{e ^ x} – 1}} – \ frac {{{e ^ x}}} {{e ^ x} +1}}} \ right) \)

Sau đó \ {\ displaystyle \ int \ limit _ {\ frac {1} {2)) ^ 1 {\ frac {{{e ^ x))} {{{e ^ {2x))) – 1}} dx} \) \ {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ int \ giới hạn _ {\ frac {1} {2}} ^ 1 {\ left ({\ frac {{{e ^ x))}} {{ {}) e) ^ x} – 1}} – \ frac {{{e ^ x)))) {{e ^ x} +1))) \ right) dx} \) {\ displaystyle = \ frac {1 } {2} \ bên trái[ {\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} – 1}}dx} – \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} dx} \right]\)

\ {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ left[ {\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} – 1}}} – \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} + 1}}} } \right]\) \ {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ left. {\ left[ {\ln \left| {{e^x} – 1} \right| – \ln \left| {{e^x} + 1} \right|} \right]} \ đúng | _ {\ frac {1} {2)) ^ 1 \) \ {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ left. {\ left[ {\ln \left| {\frac{{{e^x} – 1}}{{{e^x} + 1}}} \right|} \right]} \ đúng | _ {\ frac {1} {2}} ^ 1 \)

\ {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ frac {{e – 1)) {{e + 1}} – \ ln \ frac {{\ sqrt e -1))) {{\ sqrt e + 1}}} \ right) \) {\ displaystyle = \ frac {1} {2} \ ln \ frac {{\ left ({e -1} \ right) \ left ({\ sqrt e + 1} \ right)}} {{\ left ({e + 1} \ right) \ left ({\ sqrt e – 1} \ right)}} \).

LG C

\ {\ displaystyle \ int \ limit_0 ^ 1 {\ frac {{x + 2)} {{{x ^ 2} + 2x + 1)) \ ln (x + 1) dx} \)

Phương pháp giải quyết:

Có thể dễ dàng tính phép chia tích phân xác định thành các tích phân nhỏ hơn.

Giải pháp chi tiết:

Ta có: \ {\ displaystyle \ frac {{x + 2)} {{{left ({x + 1} \ right)} ^ 2))) = \ frac {{x + 1}} {{{\ left ({x + 1} \ right)} ^ 2}}} + \ frac {1} {{{\ left ({x + 1} \ right)} ^ 2))} {\ displaystyle = \ frac {1} {{x + 1}} + \ frac {1} {{{\ left ({x + 1} \ right)} ^ 2}}} \)

Sau đó \ {\ displaystyle \ int \ limit_0 ^ 1 {\ frac {{x + 2)) {{{x ^ 2} + 2x + 1)) \ ln (x + 1) dx} \) {\ displaystyle = \ int \ limit_0 ^ 1 {\ frac {{\ ln \ left ({x + 1} \ right)}} {{x + 1}} dx} + \ int \ limit_0 ^ 1 {\ frac {{\ ln \ left ({x + 1} \ right)}} {{{\ left ({x + 1} \ right)} ^ 2))} dx} {\ displaystyle = I + J \)

\ {\ displaystyle I = \ int \ limit_0 ^ 1 {\ ln \ left ({x + 1} \ right) d \ left ({\ ln \ left ({x + 1} \ right)} \ right)} \ ) \ {\ displaystyle = \ left. {\ frac {{{\ ln} ^ 2} \ left ({x + 1} \ right)}} {2}} \ right | _0 ^ 1 = \ frac {{ } {{\ ln} ^ 2} 2}} {2} \)

Tính toán \ {\ displaystyle J = \ int \ limit_0 ^ 1 {\ frac {{\ ln \ left ({x + 1} \ right)}} {{{\ left ({x + 1} \ right))) ^ 2}}} dx} \).

Điều chỉnh \ {\ displaystyle \ left \ {\ begin {array} {l} u = \ ln \ left ({x + 1} \ right) \\ dv = \ frac {{dx)) {{{{\ left ( {x + 1} \ right)} ^ 2}}} \ end {array} \ right. \) \ {\ displaystyle \ rightarrow \ left \ {\ begin {array} {l} du = \ frac {1} { {x + 1}} dx \\ v = – \ frac {1} {{x + 1}} \ end {array} \ right. \)

\ {\ displaystyle \ Rightarrow J = – \ left. {\ frac {{\ ln \ left ({x + 1} \ right)}} {{x + 1}}} \ right | _0 ^ 1 + int \ limit_0 ^ 1 {\ frac {1} {{{\ left ({x + 1} \ right)} ^ 2))} dx} {\ displaystyle = – \ frac {{\ ln 2}} {2} – {\ frac {1} {{x + 1))) \ right | _0 ^ 1 \) \ {\ displaystyle = – \ frac {{\ ln 2}} {2} – \ frac {1} {2} + 1 = \ frac {1} {2} – \ frac {{\ ln 2}} {2} \)

so frac {{{\ ln} ^ 2} 2}} {2} + \ frac {1} {2} – \ frac {{\ ln 2}} {2} \) \ (\ displaystyle = \ frac {{ {{\ ln} ^ 2} 2 – \ ln2 + 1}} {2} \)

LG D

\ {\ displaystyle \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {{x \ sin x + (x + 1) \ cos x))} {{x \ sin x + \ cos x}} dx} \)

Phương pháp giải quyết:

Có thể dễ dàng tính phép chia tích phân xác định thành các tích phân nhỏ hơn.

Giải pháp chi tiết:

Ta có: \ {\ displaystyle \ frac {{x \ sin x + (x + 1) \ cos x)) {{x \ sin x + \ cos x}} {\ displaystyle = \ frac {{\ left ({x \ sin x + \ cos x} \ right) + x \ cos x)) {{x \ sin x + \ cos x}} {\ displaystyle = 1 + \ frac {{x \ cos x}} {{x \ sin x + \ cos x}} \)

Sau đó, \ {\ displaystyle \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {{x \ sin x + (x + 1) \ cos x}} {{x \ sin x + \ cos x}} dx} {\ displaystyle = \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ left ({1+ \ frac {{x \ cos x))} {{x \) x + \ cos x}}} \ right) dx} \) \ {\ displaystyle = \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} {dx} + \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {{x \ cos x}} {{x \ sin x + \ cos x}} dx} \)

\ {\ displaystyle = \ frac {\ pi} {4} + I \) với \ {\ displaystyle I = \ int \ limit_0 ^ {\ frac {\ pi} {4)} {\ frac {{x \ cos x }} {{x \ sin x + \ cos x}} dx} \)

Điều chỉnh \ {\ displaystyle x \ sin x + \ cos x = u \) {\ displaystyle \ Rightarrow du = \ left ({\ sin x + x \ cos x – \ sin x} \ right) dx \) (\ displaystyle = x cos xdx)

\ {\ displaystyle \ Rightarrow I = \ int \ limit_1 ^ {\ frac {{\ sqrt 2}} {2} \ left ({\ frac {\ pi} {4} +1} \ right)} {\ frac { {du)) {u)) {\ displaystyle = \ left. {\ ln \ left | u \ right |} \ right | _1 ^ {\ frac {{\ sqrt 2}} {2} \ left ({{\ frac {\ pi} {4} +1} \ right)} {\ displaystyle = \ ln \ left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} \right]\) \ {\ displaystyle = \ ln \ frac {{\ sqrt 2}} {2} + \ ln \ left ({\ frac {\ pi} {4} +1} \ right) \) {\ displaystyle = \ ln \ left ({1 + \ frac {\ pi} {4}} \ right) – \ frac {1} {2} \ ln 2 \)

vì vậy x}} dx} {\ displaystyle = \ frac {\ pi} {4} + \ ln \ left ({1+ \ frac {\ pi} {4}} \ right) – \ frac {1} {2} \ ln 2 \).

Bài viết được chia sẻ bởi kinhnghiem.com

Leave a Reply

Your email address will not be published.